À la découverte des impédances

Un sujet … complexe

Ouh là ! Je sens déjà que certaines personnes sont inquiètes rien qu’à la vue du mot impédance ! Ce mot et les concepts qui y sont rattachés peuvent être tellement déroutants, autant pour se les représenter que les mathématiques qui sont derrière.

Mais pas de panique : j’essaierai dans cet article de démystifier les impédances et de vous permettre de vous représenter ce qui se cache derrière !

Pour pouvoir suivre convenablement cet article, il faut être à l’aise avec les concepts présentés dans l’article sur les signaux périodiques. Il est aussi vivement recommandé de connaître les composants passifs élémentaires que sont la résistance, le condensateur et la bobine.

Les composants en courant alternatif

Sans plus attendre, je vais clarifier les choses : une impédance, ça n’existe qu’en courant alternatif ! Il s’agit en effet de l’équivalent de la résistance en courant alternatif. Mais … généralisé à tous les composants.

En effet, imaginons un composant quelconque. On lui applique un courant alternatif à ses bornes. À une fréquence donnée, il va facilement laisser passer le courant. On peut dire qu’il se comporte comme une résistance de faible valeur. Si l’on change la fréquence, il va moins laisser passer le courant. C’est comme si la valeur de cette résistance augmentait.

Mais c’est juste ça une impédance ? Pas de quoi en faire tout un plat !

Et bien … c’est encore incomplet. Certes, on peut considérer l’impédance comme étant une résistance qui “change” selon la fréquence. Mais ce n’est pas le seul comportement des composants en courant alternatif ! En effet, ils peuvent aussi influencer sur le déphasage d’un signal. Selon les fréquences, il peuvent rendre un signal en avance ou en retard ! Et voilà ce qui fait si peur !

Ne nous emballons pas trop vite quand même ! Nous allons voir tout cela au fur et à mesure.

Concrètement, l’impédance est une caractéristique des courants électroniques qui quantifie ces deux aspects. D’un côté cette “résistance qui varie” selon la fréquence, et le déphasage. Tout comme la résistance, on la mesure en ohms (Ω).

Les impédances, décomplexées

Ce qui peut rendre les impédances aussi effrayantes pour l’électronicien amateur, c’est que les mathématiques derrières sont difficiles à appréhender si on a pas les connaissances nécessaires. Mais pas de panique ! Tout le monde à sa chance pour réussir à faire des choses géniales ! 😉

Revenons à la dernière phrase du paragraphe précédent. On a dit que l’impédance sert à caractériser la “variation de résistance” et le déphasage. Mais comment fait-on ça ? On utilise des formules qui dépendent de la fréquence ?

Et bien … cela existe pour les filtres, qui sont des circuits complets. Mais pour un composant tout seul, ça nous limiterait !

À la place, nous allons utiliser ce que l’on appelle les nombres complexes.

Aux frontières du réel

Je tiens à préciser que je ne ferai pas un cours de maths ici. Je donnerai juste les bases nécessaires pour comprendre.

Voici un exemple de nombre complexe :

\underline{Z} = R + j \cdot X

Où R représente la partie réelle et X la partie imaginaire. Le nombre j est ce qui fait de ce nombre un nombre complexe. C’est l’unité complexe, et qui vérifie cette relation fondamentale :

j² = -1

Pour ceux qui ont déjà vu les nombres complexes en mathématiques, oui l’unité complexe se note i ! Mais bon, le i est déjà pris en électronique pour les courants … et on est pas aussi rigoureux que les mathématiciens ! 😅

Le sinus sous un autre angle

Alors me diriez-vous, pourquoi utiliser ces nombres ? C’est par envie de faire compliqué pour pas grand chose ?

Et bien … pas vraiment ! Tout cela est lié à la nature des signaux sinusoïdaux en eux-mêmes. Pour mieux vous en rendre compte, je vous invite à regarder l’animation ci-dessous :

On peut y voir que le sinus n’est rien d’autre que l’ordonnée du point jaune sur le cercle. Une période complète du sinus correspond à un tour complet sur celui-ci. On peut donc en déduire que le rayon du cercle définit l’amplitude du sinus, et que la fréquence du sinus est donnée par la vitesse du point. Ainsi, plus il tourne vite, plus la fréquence est élevée !

On peut également remarquer que l’angle de départ définit le déphasage. Imaginons que l’on fait passer à travers un circuit le signal sinusoïdal de l’animation ci-dessus. Son angle de départ est nul, donc le déphasage est nul également. Lorsque l’on relève en sortie du circuit le signal, on remarque (par exemple) que celui-ci est déphasé de 90°. Hum … comment représenter ça en utilisant ce que l’on vient de voir ? Ça serait comme si l’angle de départ du point, pour le signal de sortie, était à 90°. L’impédance du circuit a “fait tourner” un peu la flèche rouge du signal entrant, de façon à donner au signal de sortie une certaine avance sur le signal entrant !

Impédance complexe et déphasage

Ainsi, nous venons de voir qu’un signal sinusoïdal peut être assimilé dans un plan 2D par “un point qui tourne sur un cercle”. On peut également faire de même pour notre impédance, ce qui ferait apparaître le déphasage φ qu’elle introduit :

On peut ainsi modifier l’expression que l’on a précédemment écrite pour notre impédance (R + jX), de façon à y faire apparaître l’angle qu’elle décrit (φ) :

\underline{Z} = |\underline{Z}| \cdot (\cos(\varphi) + j \cdot \sin(\varphi))

Vous remarquerez également que cette écriture fait apparaître un |Z|, appelé module et qui représente la distance qui sépare l’impédance du point (0 + j0). Son expression est :

|\underline{Z}| = \sqrt{R² + X²}

Ce module va permettre de quantifier, à une fréquence donnée, l’atténuation que notre impédance a sur le signal ; nous y reviendrons plus loin. Et enfin, l’angle du déphasage (aussi appelé argument) est donné par la formule :

\varphi = \arctan(\dfrac{X}{R})

Résumé visuel, avec les diagrammes de Fresnel

Les électrotechniciens savent déjà de quoi je vais parler ; il s’agit ni plus ni moins que de reprendre ce que j’ai écrit juste avant, en faisant des petites constructions graphiques en plus. Cela permet de se représenter de façon visuelle ce qui se passe sans avoir à passer par le formalisme mathématique des nombres complexes.

Pour garder les choses simples, je vais reprendre l’exemple utilisé plus haut : un composant quelconque, qui déphase le signal entrant de 90° et qui apporte une certaine atténuation.

1 : notre signal de base

Nous avions précédemment dit que notre signal entrant avait une phase à l’origine nulle, aussi je vous propose cette représentation suivante dans le plan complexe, par un premier vecteur d’argument nul, et pour simplifier, de module égal à 1 :

2 : représentons notre impédance

Ajoutons à présent notre impédance. Disons, pour l’exemple, que son module est de 0,5 et, comme dit plus haut, que son argument est de 90°, à la fréquence du signal étudié :

3 : combiner plusieurs impédances

Dans le cas où on a plusieurs impédances, il faudra sommer leurs vecteurs respectifs de façon à obtenir celui d’impédance “totale”. Par contre, il faut bien placer ces différentes impédances avant !

Une impédance en série sera représentée telle quelle ; en revanche, pour une impédance en parallèle, on représente l’admittance, c’est-à-dire l’inverse de celle-ci.

4 : combiner tout cela

Très bien, maintenant on a une représentation de notre signal, et de notre (nos) impédance(s). Maintenant, il n’y a plus qu’à combiner les deux !

Pour trouver à partir de l’impédance la tension ou le courant, il faudra appliquer la loi d’Ohm pour en déduire un vecteur “tension” ou “courant”. Une fois cela fait, on obtient un vecteur qui pourra être sommé à notre vecteur initial.

Pour reprendre notre exemple très simplifié, on pourra imaginer un vecteur résultant déphasé de 90° par rapport au signal initial.

Abaque de Smith ?

Petite ouverture sur quelque chose qui fera certainement l’objet d’articles ultérieurs, ô combien c’est important en radio-fréquences. En effet, les radioamateurs et les ingénieurs en télécommunications ont leur façon de représenter les impédances et de faire des calculs dessus, grâce à des constructions géométriques avec le fameux abaque de Smith :

Sur le même principe que ce que l’on a décrit plus haut, chaque point dans le cercle représente une impédance normalisée, inductive en haut, capacitive en bas, résistive au milieu. La partie réelle se lit sur les cercles tangents à droite, la partie imaginaire sur les arcs de cercle qui partent du même point. On utilise ensuite des notions liées aux radio-fréquences (coefficient de réflexion, longueur d’onde guidée …) pour invoquer la toute-puissance de cet outil ésotérique ! 🧙‍♂️

Les impédances courantes

La loi d’Ohm généralisée

Dernière ligne droite dans ce périple à travers les formules. 🤯 Mais rassurez-vous, ce que j’ai défini précédemment va prendre un peu plus de sens !

On a dit que le module de l’impédance caractérise la capacité, à une fréquence donnée de freiner le courant. Autrement dit, d’y appliquer … une résistance ! Serait-ce possible d’appliquer la loi d’Ohm dans ce cas-là aussi ?

Et bien c’est tout à fait possible ! En assimilant le module de l’impédance à la résistance, on retombe sur la formule :

U = |\underline{Z}| \cdot I

Impédance d’une résistance

Dans les articles précédents, on a défini une résistance comme le composant passif le plus linéaire par excellence : toujours par la loi d’Ohm, la tension à ses bornes est égale au produit de sa résistance par le courant qui la traverse. Introduit-elle un déphasage ? Sa valeur change-t-elle selon la fréquence ? Loin de là !

La valeur de son impédance est … purement réelle, et est égale à la valeur de la résistance :

\underline{Z}_{R} = R

Comme l’impédance est purement réelle, son argument est nul ; sur nos diagrammes de Fresnel, on la représentera donc par un vecteur à un angle de 0°.

Bien sûr, ce que je dirai dans cette partie se rapporte qu’à des composants parfaits. Les vrais composants ont tous une partie résistive, capacitive et inductive parasite. Vous verrez plus loin que nos résistances ne sont pas si parfaites que ça !

Impédance d’un condensateur

Pour le condensateur, c’est là que les choses se corsent. Nous avions vu dans les articles précédents que plus la tension à ses bornes varie vite, plus le courant qu’il laisse passer est important. Sur une période de sinusoïde, on verrait donc que le courant est en avance sur la tension.

De plus, si la fréquence augmente, la tension varie plus vite, et le condensateur est davantage passant.

Ainsi, l’impédance d’un condensateur est purement imaginaire, et vaut :

\underline{Z}_{C} = \dfrac{1}{jC\omega} = \dfrac{1}{2j\pi f \cdot C}

On peut montrer qu’ici, cette impédance purement imaginaire est négative : sur nos diagrammes de Fresnel, son argument sera de -π/2 rad, c’est-à-dire -90°.

Impédance d’une bobine

De même, les bobines sont des composants réactifs assez complémentaires aux condensateurs. Cette fois-ci, plus le courant qui les traverse varie vite, plus la tension à leurs bornes augmente. Sur une période de sinusoïde, on verrait donc que le courant est en retard sur la tension.

De plus, si la fréquence augmente, le courant varie plus vite, et la bobine est moins passante.

Vous l’aurez compris, tout est en quelque sorte inversé. Et cela se ressent sur l’expression de l’impédance !

\underline{Z}_{L} = jL\omega = 2j\pi f \cdot L

Remarquons qu’ici, cette impédance purement imaginaire est positive : sur nos diagrammes de Fresnel, son argument sera de +π/2 rad, c’est-à-dire +90°.

Petite manipulation …

À présent, je propose un petit bonus pour tout ceux qui ont réussi à passer les deux parties précédentes. J’ai pas perdu trop de monde en cours de route ? 😅

Nous allons maintenant voir comment se comportent les différents composants passifs dans la vraie vie. Pour se faire, j’utiliserai le matériel suivant :

• Un oscilloscope à deux voies ;
• Un générateur de fonctions ;
• Une résistance de 100 Ω ;
• Une résistance de 1 kΩ ;
• Un condensateur de 100 nF ;
• Une bobine torique, d’inductance inconnue.

Le but est de mesurer quelques impédances avec ce matériel. Nous réaliserons ce montage:

La résistance de 1kΩ sert à la fois à former un pont diviseur de tension avec l’impédance testée, et de résistance de shunt pour mesurer le courant qui circule dans le montage. Le GBF devra impérativement livrer un signal sinusoïdal, dont la fréquence ne sera pas trop élevée (< 1 MHz). Bien sûr, nous ferons varier cette dernière. Enfin, on pourra mesurer à l’oscilloscope les amplitudes et le retard des deux signaux :

Le reste pourra aisément être calculé ! En soustrayant les deux amplitudes, nous obtenons celle aux bornes de la résistance de shunt ; avec la loi d’Ohm, on en déduit le courant qui circule ; et enfin, à partir des retards, on peut en déduire le déphasage.

… sur une résistance

Pour commencer tranquillement, voyons ce que l’on obtient à partir d’une résistance de 100 Ω. Afin d’avoir un peu plus de précision, j’ai mesuré à l’ohmmètre la valeur de la résistance de shunt : 970 Ω. Et voilà ce que j’ai obtenu :

Le retard (et donc le déphasage) était trop faible pour être mesurable dans ces conditions. Toutefois, que nous apprennent ces mesures ?

Et bien, on peut constater que le comportement reste sensiblement le même quelque soit la fréquence. Les petites différences que l’on peut observer sont dues aux incertitudes de mesure et aux effets inductifs parasites (les connexions sont loin d’être idéales 😅).

On remarque que le composant testé permet de diviser par 10 l’amplitude du signal d’entrée. Normal, puisque l’on crée un pont diviseur de tension !

Si on néglige les petits effets parasites, on peut donc dire que la résistance suit bien la théorie évoquée plus haut : le comportement reste le même quelque soit la fréquence.

… sur un condensateur

Dans un deuxième temps, je vais utiliser un petit condensateur céramique de 100 nF (code normalisé 104). J’obtiens cette fois-ci les mesures suivantes :

Ah, cette fois ça devient un peu plus drôle ! La fréquence joue cette fois-ci beaucoup sur le comportement du composant.

On observe deux choses fondamentales chez le condensateur. D’abord, aux basses fréquences, il se comporte exactement comme un circuit ouvert : il ne laisse pas passer le courant. Quand la fréquence augmente, c’est l’inverse, il se comporte comme un fil. Ensuite, on peut remarquer que le retard est négatif (le courant est en avance sur la tension), et que plus la fréquence augmente, plus celui-ci tend vers -90° !

… sur une bobine

Je dois avouer que je suis un peu déçu du résultat des mesures avec cette bobine ; sa valeur est trop petite et j’aurais été obligé d’augmenter encore plus la fréquence pour obtenir des résultats intéressants. Par exemple, les mesures de déphasage ne sont pas exploitables et je les ai volontairement omises. Je recommencerai l’expérience lorsque je pourrai me procurer une bobine d’inductance plus élevée.

Ce n’est toutefois pas un échec cuisant car ces mesures montrent des choses intéressantes sur la caractéristique fréquence-courant :

On retrouve un peu ce que l’on avait évoqué plus haut. Observez les lignes “amplitude aux bornes du DST” et “courant”. On observe qu’en basse fréquence, la bobine n’est ni plus ni moins qu’un simple fil. Le courant n’est freiné que par la résistance et la tension aux bornes de la bobine est nulle. À l’inverse, quand la fréquence augmente, le courant diminue car il est davantage freiné par la bobine. Ainsi, la tension aux bornes de cette dernière ne peut qu’augmenter !

Tirer une dernière information de ces mesures

Ces mesures sont intéressantes pour confirmer la théorie, mais est-ce qu’elles peuvent servir à des choses plus intéressantes ? La réponse est oui ! Certains inductancemètres / capacimètres (RLC meter) font leurs mesures de la même manière.

Non seulement on a pu mesurer des impédances, mais connaissant les relations qui les régissent, il est possible de mesurer les valeurs des composants. Mettons en application ce que l’on vient de voir !

Mesure de la résistance

Partons de la loi d’Ohm généralisée que l’on a écrite plus haut :

U = |Z| \cdot I

Or on sait que, pour une résistance, |Z| = R. On obtient donc :

R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{0,59}{4,79\times10^{-3}} \approx 123 \Omega

Compte tenu des mesures faites un peu à la va-vite et de mes approximations, je suis assez content de ce résultat. Même si c’est au-delà de la tolérance de 10 % pour les résistances que j’ai utilisé, ça semble tenir la route. À moins que mon fournisseur m’aie menti ? 🧐

Mesure du condensateur

Même chose, sauf que l’on part de la relation de l’impédance du condensateur.

|Z| = \dfrac{1}{2 \pi f C} \iff C = \dfrac{I}{2\pi f U} = \dfrac{1,06 \times 10^{-3}}{2\pi \times 1000 \times 4,12} \approx 41 nF

Décidément, les mesures sont assez faussées dans cette configuration. 😅 Mon multimètre a donné 117 nF pour ce condensateur. Je pense que mes mesures de tension à l’oscilloscope sont peu fiables, et cela se ressent vu la précision que demande ce type de mesurages. Cela reste pas trop mal pour se donner une idée de l’ordre de grandeur tout de même.

Mesure de la bobine

Bon, même si ces mesures sont presque des offenses à la métrologie, essayons quand même de déterminer un ordre de grandeur pour cette bobine ! À partir de la relation de l’impédance pour une bobine et de la loi d’Ohm, j’obtiens cette fois l’équation suivante :

L = \dfrac{U}{2 \pi f I} = \dfrac{0,87}{2 \pi \times 10^{5} \times 4,25 \times 10 ^{-3}} \approx 0,33 mH

J’estime que l’inductance de la bobine est d’une centaine de mH. Cet ordre de grandeur me semble cohérent vu sa constitution et sa fonction (bobine torique utilisée pour le filtrage, dans une alimentation à découpage).

Ces mesures de valeurs de composants étaient assez imprécises, et cela était plutôt prévisible vu le côté très “vite fait” de la mesure. J’espère néanmoins que cette petite manipulation, que je vous invite vivement à refaire si vous avez le matériel pour, vous aura permis de mieux voir et de mieux comprendre le fonctionnement des impédances.

Conclusion

Bon, on peut dire que cet article était assez dense et plein de notions difficiles à appréhender. Les impédances sont des concepts très importants en électronique, puisqu’on les retrouve fréquemment. Après tout, on a assez peu de montages qui ne fonctionnent qu’en courant continu, n’est-ce pas ?

Même si nous n’avons pas forcément pu voir tous les aspects des impédances, ce ne sont pas les occasions d’en parler et de se familiariser avec qui vont manquer. Ce n’est que le début du chemin à travers ce sujet vaste mais intimidant. Filtrage, adaptation d’impédance, radio-fréquences … À mesure que nous verrons ces sujets, les impédances devraient être moins obscures pour vous !

La suite directe de cet article porte sur le filtrage, et est maintenant disponible. Alors n’attendez pas pour mettre en pratique les impédances et faire des choses géniales ! 💡